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Feuille 1. Suites convergentes. La feuille propose d'aborder cette notion en mettant la main dans les epsilon, et invite à résoudre quelques exercices très simples pour manipuler les définitions de limite. Elle contient des exercices de calcul de limite, et on fait également connaissance avec des suites définies par une relation de récurrence. On rencontre les suites de Fibonacci et de Héron. La première partie de la feuille traite de propriétés de l'ensemble des nombres réels. Feuile 2. Comparaison de suites et de fonctions - Vitesse de convergence. Comme le titre l'indique, la feuille est en deux parties. Dans la première on propose de réfléchir aux différentes relations de comparaisons et de résoudre des exercices classiques de calcul de limites et d'équivalents. Dans la deuxième partie on définit la vitesse de convergence d'une suite, et on donne des exemples dans chacun des cas. Les méthodes d'accélération de Richardson-Romberg (au programme!) et d'Aïtken sont présentées.
Feuille 4.
Séries. On propose dans la première partie une
série...de théorèmes classiques à travailler.
Vous êtes ensuite invités à venir faire les
démonstrations au tableau. La feuille contient des exemples de convergence
de séries à étudier, la transformation d'Abel, le
produit de convolution de deux séries, les résultats sur les
équivalents des restes et des sommes partiels illustrés par des
exemples. Feuille 6. Intégration sur un intervalle compact. A nouveau une feuille assez longue, quatre séances ne seront pas de trop pour en discuter. La dernière partie porte sur les méthodes d’intégration numérique, on y consacrera au moins une séance. Pour étudier la méthode de Simpson, on travaillera sur un problème composé par M. Cristofari que l’on peut trouver ici. En plus de l’approche numérique du calcul d’intégrale, ce problème est l’occasion de mettre en œuvre les théorèmes de Lagrange et l’interpolation de Lagrange. Un bon moyen de réviser donc. On ne travaillera pas la feuille linéairement (voir explication au début). Feuille 7. Etude locale des fonctions, développements limités. Fonctions usuelles. On commencera par des calculs de développements limités et de limites pour revoir les règles. On essaie ensuite de réfléchir ensuite aux liens entre développements limités et dérivabilité, développements limités et équivalence. On donne des applications. La deuxième partie de la feuille a pour but de fixer les idées à propos des fonctions usuelles. On étudiera l’équation fonctionnelle de l’exponentielle à l’aide de la première partie du sujet 2001 d’analyse. Feuille 8. Séries et intégrales impropres. Une feuille courte qui nous occupera trois heures. On se familiarise avec les techniques de la feuille grâce à l’exemple des séries de Riemann. On énonce ensuite deux résultats dont l’un permet de retrouver l’existence de la constante d’Euler. Enfin, on insiste sur les limites de l’analogie séries-intégrales. Feuille 9. Equations différentielles. Nous finirons la préparation sur cette feuille qui nous occupera cinq séances. Avant d'aborder les théorèmes généraux d'existence, on insiste sur le vocabulaire, les équations du premier et second ordre ainsi que sur la méthode de la variation de la constante. On étudie ensuite les équations linéaires à coefficients constants. On insiste sur les différences entre les théorèmes de Cauchy. Enfin, on travaille quelques méthodes classiques pour les équations à variables séparées, équations induite par une forme différentielle exacte, méthode du changement de variable... On propose deux problèmes : une étude des fonctions sinus et cosinus définies comme solutionsd'un système différentiel. Ce problème est proposé par M.Deleglise qui travaille à l'IUFM de Lyon-I. Le deuxième problème est une étude du mouvement d'un pendule. Feuille 10. Révisions. Pour la dernière séance, un exemple de feuille de révisions pour revenir sur des points mal compris. |