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feuilles


Master EEF Parcours Mathématiques 2016-2017


Analyse en M1

Feuille 1. Suites convergentes. La feuille propose d'aborder cette notion en mettant la main dans les epsilon, et invite à résoudre quelques exercices très simples pour manipuler les définitions de limite. Elle contient des exercices de calcul de limite, et on fait également connaissance avec des suites définies par une relation de récurrence. On rencontre les suites de Fibonacci et de Héron. La première partie de la feuille aborde rapidement certaines propriétés de l'ensemble des nombres réels.

Programme du Test 1 : On utilisera ce programme pour commencer à réviser le cours sur les suites convergentes. Le test : il s'agit de traiter 10 points parmi ceux du programme.

Feuille 2.  Suites définies par une relation de récurrence.  On aborde quelques méthodes pour étudier les suites  réelles définies par une relation un+1=f(un), cas où f est croissante ou décroissante. On insiste sur les suites arithmético-géométriques. On analyse également quelques exercices du lycée. (On manque de temps pour traiter cette feuille.)

Feuille 3. Fonctions : continuité, dérivabilité.

Feuille 4 : Convexité. On consacre une séance sur cette feuille en insistant sur les critères pratiques et les applications. La théorie (démonstration de sthéorèmes importants du cours) est laissée pour le Test 2.

Programme du Test 2.

Feuille 5. Comparaisons de suites et de fonctions - Développements limités - Etude locale des fonctions. On commence par revoir le cours sur les relations de comparaison : o, O et équivalents.  On accorde une séance pour les calculs de développements limités et de limites. On essaie ensuite de réfléchir ensuite aux liens entre développements limités et dérivabilité, développements limités et équivalence. On donne des applications. La  feuille est également l'occasion de rafraîchir les idées à propos des fonctions

Programme du Test 3.

Feuille 6.  Intégration sur un intervalle compact. Intégrale de Riemann, calcul d'intégrales, et un peu d'intégration numérique pour utiliser les formules de Taylor.

Dossier sur les équations différentielles : nous aborderons le thème des équations différentielles à partir d'un dossier.

Probabilités-Statistiques en M1

Feuille 1. Prise en main d'Algobox. L'objectif de cette première séance est de donner quelques notions d'algorithmique, et de savoir programmer sur Algobox quelques algorithmes classiques des programmes du secondaire.

Feuille 2. Simulation d'expériences aléatoires. L'objectif de cette séance est d'apprendre à  simuler des expériences aléatoires dans différents contextes, toujours en lien avec les programmes du secondaire.

Feuille 3. Problème introduisant deux modes de convergence de variables aléatoires. Nous introduisons à l'aide d'un problème très progressif les notions de convergence en loi et en probabilité.

Programme du Test : On utilisera ce programme pour réviser le cours sur les notions de base indispensables à la compréhension de ce module.

Feuille 4. On revient sur les simulations d'expériences aléatoires de la Feuille 2, et on donne des justifications théoriques aux méthodes employées. On aborde les intervalles de fluctuations et de confiance.



M2 Ensgt Spé Maths dit "de transition" 2013-2014


Analyse pour l'oral et l'enseignement

Feuille 1. Limites de suites et de fonctions. On travaille ces notions d'après les programmes de lycée, et avec l'éclairage des programmes du supérieur. On analyse quelques extraits de manuels. On traite des suites définies par une relation de récurrence ainsi que des suites pouvant être étudiées en TS Spécialité Mathématiques à l'aide des matrices. Deux dossiers  en liaison sont présentés.

Feuille 2. Intégrales, primitives.On insiste particulièrement sur l'enchainement particulier des définitions et théorèmes demandé par les programmes de Terminale S. Deux dossiers en liaison sont présentés.

Feuille 3. Fonctions exponentielles, équations différentielles.  On démontre le théorème donnant les solutions d'une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants. Un dossier est traité en liaison.


Déjà feu le Master Ensgt Spé Maths 2012-2013


Géométrie en M2


Feuille 1. Révisions de géométrie affine et euclidienne. Le prérequis de ce module de géométrie est le programme du module de M1 de Géométrie : espace affine et euclidien. On profite de cette feuille pour se remettre dans le bain, et revoir quelques thèmes importants pour le Capes comme la puissance d'un point par rapport à un cercle, ou encore les théorèmes de Ceva et de Menelaüs. On insiste sur les problèmes de recherche de lieux.

Feuille 2. Courbes planes paramétrées. On travaille sur cette feuille après qu'un étudiant ait présenté l'exposé de l'oral du Capes du même nom. On accorde de l'importance au tracé des courbes en coordonnées polaires. Certains problèmes sont inspirés de problèmes donnés par David Delaunay en classes préparatoires au Lycée Dupuy de Lôme.

Deux tests sont organisés : un portant sur l'étude d'une courbe paramétrée, l'autre portant sur l'étude d'une courbe paramétrée donnée par ses coordonnées polaires.

Feuille 3. Coniques.  On accorde une grande importance au cours (un test est organisé).

Feuille 4. Problème sur les courbes de Bézier.
On découvre les courbes de Bézier à l'aide d'un problème très très inspiré du problème du concours d'entrée à l'Ecole Centrale en 1999, filière PC.

Feuille 5. Surfaces. Avec le peu de temps restant, on survole le cours sur les surfaces et travaille deux ou trois exercices.


Analyse numérique en M2

Feuille 1.  Vitesse de convergence - Accélération de convergence. Comme le titre l'indique, la feuille est en deux parties. Dans la première on propose de réfléchir à différentes définitions de vitesses de convergence de suites. Dans la deuxième partie on discute des méthodes d'accélération de Richardson-Romberg  et d'Aïtken.  Un exercice sur les vitesses de convergence des séries nous ammènera à discuter de la représentation des réels en virgule flottante.

Feuille 2. Intégration numérique. On étudie différentes méthodes d’intégration numérique via trois petits problèmes : méthodes des rectangles, méthodes des trapèzes... Pour étudier la méthode de Simpson, on travaillera sur un problème composé par M. Cristofari que l’on peut trouver ici. En plus de l’approche numérique du calcul d’intégrale, ce problème est l’occasion de mettre en œuvre les théorèmes de Lagrange et l’interpolation de Lagrange. Un bon moyen de réviser donc. 

Feuille 3. Polynomes orthogonaux. Après quelques exercices sur les espaces de fonctions, on traite en datail un problème des ENSI 2003 sur les polynomes de Tchebychev. C'est l'occasion de réviser la projection orthogonale, et de mieux comprendre la théorie des séries de Fourier. On travaillera également un deuxième problème sur les polynômes de Laguerre.


Préparation à l'agrégation interne de Mathématiques 2015-16


Séance 1 & 2 : Théorèmes du point fixe et applications. On démontre plusieurs versions classiques de ce théorème et les applique dans différents contextes. Lors de la deuxième séance, Silen nous présente une planche d'exercices en liaison.

Séances 3 & 4 : Séries entières et séries de Dirichlet. On reste proche du cours concernant la convergence des séries entières avant d'étudier un exemple. Ensuite, on étudie les (toutes) premières propriétés de convergence des séries de Dirichlet. Lors de la deuxième séance, Thérèse nous présente une planche d'exercices sur les applications des séries entières.

Séance 5 : Méthode de Gauss-Jacobi. Un peu d'analyse matricielle : on étudie une méthode de calcul approché des valeurs propres d'une matrice symétrique réelle.


Préparation à l'agrégation interne de Mathématiques 2014-15

Vous souhaitez préparer l'agrégation interne de mathématiques dans le Var, être soutenu par une équipe sérieuse, sympathique et motivée ? Contactez sans plus attendre Thierry Champion le responsable de la formation.

Séance 1 & 2 : Suites, séries, suites et séries de fonctions.

Séance 3 : Correction du Problème blanc. Le problème blanc aura pour thème les séries entières.

Séance 4 : Equations différentielles.

Préparation à l'agrégation interne de Mathématiques 2013-14

Séance 1 & 2 : Noyau de Poisson. Au programme : séries entières, séries de Fourier, intégrales et bonnes vieilles permutations...

Séance 2 : Intégrales à paramètres. On travaille à l'aide d'une planche d'exercices.

Séance 4 : préparation à l'oral. Nous travaillons sur l'exposé 163. Endomorphismes diagonalisables. Exemples et applications et sur la planche d'exemples et d'exercices 463. Exemples d'équations différentielles issues des sciences physiques ou chimiques.


Préparation à l'agrégation interne de Mathématiques 2012-13


Séance 1 : Correction du problème blanc. Il s'agit du sujet de l'Agrégation Interne 2004. Au menu : un lemme de Cantor, un peu de séries trigonométriques, pseudo-dérivées, espace H ...

Séance 2 & 3 : Intégrales à paramètres. On travaille sur les intégrales à paramètres à l'aide du problème CCP  2008 (MP) (les questions 14 et 15 sur la fonction Gamma et l'intégrale de Gauss ont été rajoutées). 

Séance 4 : préparation à l'oral.


Préparation à l'agrégation interne de Mathématiques 2011-12


Séances 1 & 2 : Suites de Cesaro et séries de Fourier. Lors de la première séance, on insiste sur la première partie du sujet, sur les séries de Fourier : main dans les epsilon, inégalités, recherche de contre-exemples... Lors de la deuxième séance, on démontre le théorème de Féjer, révise les séries de Fourier, travaille sur la convolution...

Séance 3 : Correction du Problème Blanc.On corrige une partie du problème d'analyse donné à l'agrégation interne en 1990 sur l'équation de Guichard. Au menu : un peu d'algèbre linéaire, polynomes, convergences uniformes et quelques résultats sur les fonctions analytiques...sans prononcer le mot, et sans utiliser le cours sur les fonctions analytiques.

Séance 4 : Fonction Dzeta. Il s'agit du sujet donné au concours CCP en 2004 ; la partie 1 est modifiée.  Au menu : séries entières, séries de fonctions, quelques permutations de limites et d'intégrales.



Préparation à l'agrégation interne de Mathématiques 2010-11


Séances 1 & 2 : Produits infinis, formule des compléments et fonction Gamma. Suites, séries, inégrales à paramètre, séries de Fourier...bref, de la bonne analyse à sa mémère.

Séance 3 : Le Capes 99 sur la méthode de Newton appliqué aux polynômes... Un sujet pas si évident... Un bon prétexte également pour revoir le cours sur les polynômes (multiplicités des racines...) On trouve le sujet et un corrigé chez Dany-Jack Mercier.

Séances 4 & 5 : Polynômes de Tchebychev, espaces préhilbertiens, projection orthogonale, polynômes de meilleure approximation...

Séance 6 : Une planche qui correspond à un kit de premiers secours sur les équadiff.

Séance 7 : Comme la dernière séance était trés productive, on garde la formule : une planche qui correspond à un kit de premiers secours sur les intégrales à paramètres.

Séance 8 : Nous avons corrigé le problème blanc donné avant Noël : il s'agissait du problème de l'agreg interne 2000 sur la transformée de Laplace. Pas évident !


Archives 2010-11


Analyse en M2

Feuille 1. Révisions sur les fonctions. Révisions sur les fonctions. Au programme : continuité, dérivabilité, convexité... Des rappels sur des notions importantes et de petits problèmes de rédaction. Même feuille que pour les M1, mais on ne peut y passer qu'une séance !

Feuille 2. Séries. Exemples de convergence de séries à étudier, transformation d'Abel, le produit de convolution de deux séries, équivalents des restes et des sommes partiels illustrés par des exemples. 

Feuilles 3. Suites et séries de fonctions. Convergence simple, convergence uniforme, convergence normale pour les séries... Une feuille inspirée en grande partie de la feuille d'Antoine Douai.

Feuille 4. Séries entières et séries de Fourier. Cette feuille nous occupera deux séances. Pour les séries de Fourier, des exercices sont proposés pour retrouver les coefficients de Fourier, retrouver des parties du cours.

Feuille 5. Fonctions intégrables. La feuille traite les intégrales à paramètres.

Feuille 6. Equations différentielles.






































































































 


Vieilleries


Programme du Test 2 : Séries et comparaisons de suites/fonctions.

Feuille 5. Etude locale des fonctions, développements limités. Fonctions usuelles. On commencera par des calculs de développements limités et de limites pour revoir les règles. On essaie ensuite de réfléchir ensuite aux liens entre développements limités et dérivabilité, développements limités et équivalence. On donne des applications. La deuxième partie de la feuille a pour but de fixer les idées à propos des fonctions usuelles. On étudiera l’équation fonctionnelle de l’exponentielle à l’aide de la première partie du sujet 2001 d’analyse.

Feuille 6. Intégrales impropres et à paramètre - Lien entre séries et intégrales impropres. On rappelle le vocabulaire et les définitions concernant les intégrales impropres. Dans un deuxième temps, on utilise les théorèmes de continuité et de dérivabilité des intégrales à paramètres. Des exercices proposent les démonstrations de ces théorèmes. Enfin, on étudie le lien entre séries et intégrales. On se familiarise avec des techniques classiques avec l’exemple des séries de Riemann. On énonce ensuite deux résultats dont l’un permet de retrouver l’existence de la constante d’Euler. Enfin, on insiste sur les limites de l’analogie séries-intégrales.

Programme du Test 3 : Intégrales impropres.

Un peu d'intégration numérique. La dernière partie porte sur les méthodes d’intégration numérique, on y consacrera au moins une séance. Pour étudier la méthode de Simpson, on travaillera sur un problème composé par M. Cristofari que l’on peut trouver ici. En plus de l’approche numérique du calcul d’intégrale, ce problème est l’occasion de mettre en œuvre les théorèmes de Lagrange et l’interpolation de Lagrange. Un bon moyen de réviser donc.

Feuille 7. Equations différentielles. Une feuille qui nous occupera cinq séances. Avant d'aborder les théorèmes généraux d'existence, on insiste sur le vocabulaire, les équations du premier et second ordre ainsi que sur la méthode de la variation de la constante. On étudie ensuite les équations linéaires à coefficients constants. On insiste sur les différences entre les théorèmes de Cauchy. Enfin, on travaille quelques méthodes classiques pour les équations à variables séparées, équations induites par une forme différentielle exacte, méthode du changement de variable... On propose deux problèmes : une étude des fonctions sinus et cosinus définies comme solutions d'un système différentiel. Ce problème est proposé par M.Deleglise qui travaille à l'IUFM de Lyon-I. Le deuxième problème est une étude du mouvement d'un pendule

Feuille 8. Espaces fonctionnels, séries de Fourier: Un pot pourri sur les espaces vectoriels normés, les espaces préhilbertiens, les séries de Fourier. On retrouve et motive le début de la théorie sur les séries de Fourier.